回顾两个孩子的数感启蒙过程，小和的数感要更敏锐一些，这可能跟她与生俱来的专注和自主探索特质有关。
中班上学期，小和每天在蒙氏班级里专注地做数棒工作长达三个月，而她的老师没有干扰这个独立感知的过程。在家庭里，我为她们准备了发声数字表，她们喜欢每天去按那些数字，感受以内的数列。我们还买了以内的数字卡片，经常共同从1摆到。此外，还有物数对应的蒙氏教具，她和妹妹每天很投入地玩儿，1到10的小柱子由低到高，依次在上面套上1~10个小圈圈，并相应地找到一个书包、两个杯子、三顶帽子……把10块图形数量的积木摆在对应的数字前。这套蒙氏教具，她们操作了几百次。
从她们四岁开始，我们每天一起玩儿逻辑狗，并练习运用手指进行快速的物数对应。我们每天玩儿的游戏是：我说一个10以内的数字，她们快速反应，出示相对应数量的手指。如此练习，她们学会了利用最便捷的物数对应工具——手指。
后来，我们在学习10以内的加法前，每天通过摆筹码，让她们感受“数的稳定性”。比如，5个筹码摆好了，在旁边加2个筹码，开始的时候她们会一个一个数过来才能确认筹码总数，后来，她们发现了“大数稳定不变”的规律，也就是5个筹码就是5个，不需要再一个一个地去数，旁边加上去的筹码只需要按照数列往下数6、7。就这样，她们很快地掌握了10以内的加法。当她们熟练地掌握了手指数量和数字的对应后，10以内的减法也自然而然地掌握了。
在5周岁的时候，她们有了一个学习20以内的加减法的契机。我订阅的阿咪虎数学绘本里面有20以内进位加法和退位减法的游戏，而姐妹俩不会算，就没有办法使用贴纸完成游戏。孩子问我，我一直坦言还没有想到更好的方法来教她们。我只是通过摆筹码，让她们感受10+1=11，10+2=12……10+9=19,10+10=20的规律，感受10的恒定与妙用。
突然有一天，小和顿悟了20以内的加减法，并且清晰地讲解了自己的思维过程。她说：“妈妈，9+9，我的头脑里有两列筹码，每列都是9，我可以移动其中一列的1个筹码给另一列，少了一个的变成8个，另一列增加了一个变成10个，18。7+7，我把两个7里的2个5凑成10，剩下的两个2凑成4。”她根据这个方法，研究了退位的减法，她说:“17-9,17有两列筹码，一列10，一列7，它们是好朋友。想从7那列里拿走9个，不够用，就从10那一列里拿走9个，剩下1个，这1个和旁边的7个手拉手，剩下8个。”
她在自己的头脑里迅速摆筹码的能力，源自于我们前期反复地实物操练。儿童的数感源自于他们对真实物体数量的感受，这个过程对孩子来说非常重要。自悟要远远胜过大人的灌输，自悟的过程是孩子自己发现规律、设计思维程序的过程。而成人的套路灌输，只是使得孩子被迫执行程序罢了，思考的主动性被剥夺。
小和很快用在头脑里摆筹码的方式理解了以内的加减法，以及简单的乘除法。这个过程中，我和爸爸都没有干扰，只扮演真诚地欣赏者，看着她感受数学的那种宁静的美。她说：“59这个数字，别看5小，9大，实际上5很富有，它拥有50个筹码，而9拥有的筹码少得可怜，只有9个。”在计算28+35的时候，她领悟到，整十的做朋友，单个的做朋友，8个和5个交朋友，它们加在一起超过了10个，13个，它们只能留下3个，把那一个10送给十位，这样十位就有6个10了，所以最后的结果是63。
有一天，她让我出题考她，我便以她最喜欢的《神偷奶爸》中的小*人为素材，问她：如果你有24个小*人，你该怎么把他们平均分成两组呢？她想了几秒钟，快速地回答：每组12个。我问她怎么分的，她说：“很简单，把20分成2个10，把剩下的4个小*人，每组分2个。”我又问：“48个小*人怎么分？”她回答：“每组24个，把40个先分两组，每组20，再把那8个每组分4个。”我追问：“那50个怎么分？”她立刻告诉我：“每组25个，先把40分两组，每组20，剩下的10个，每组分5个。”这一刻，我心里很是欣喜，因为她虽然没有掌握除法的规则，但已经可以通过自己的数感悟到除法的一些规律了。
此外，激发孩子的数量应用，可以结合现实情景中的各种问题，根据孩子感兴趣的事物编题，也可以引导孩子自己创编问题、设计程序和步骤。我经常根据她们感兴趣的购物、美食、动物、电影里的角色、乘公交车来即兴设计问题，比如：
小艺到超市买了两袋巧克力豆，每袋里有8个巧克力豆，且每袋需15元。小艺一共买了多少个巧克力豆？她一共花了多少钱？
小和拥有一个小*人纵队，把50个小*人平均分成两组，每组多少个小*人？
小和小艺想吃甜甜圈，妈妈给了她们俩10元钱，可莎蜜儿的甜甜圈一个6元，妈妈给的钱够买两个甜甜圈吗？
小帝企鹅菲比身高60厘米，小帝企鹅宝宝雪宝身高50厘米，雪宝想要和菲比现在的身高一样高，还需要长多少厘米？
小艺去文具店买文具，她有20元钱，她想买一本15元的本子，还想买一支7元的水笔，小艺的钱够吗？
有三个小朋友来家里做客，小艺想把10根巧克力棒分给三个朋友，每个小朋友平均最多能分几根？还剩几根？
父亲节快要到了，小和、小艺想送给爸爸一个手机外壳做礼物，需要18元，小和小艺平均每人拿多少钱？
类似这样的问题，贴近孩子的生活实际和兴趣，可以触动他们的主动思考。
儿童早期的数感启蒙，重在儿童的自主操作，在动手操练和各种熟悉的生活场景中感受数列、物数对应、10的妙用、数的整体和部分、数量的变化，这个阶段的探索将为儿童后期的数感打下良好的基础。
以上是我的一些家庭数感启蒙体会，希望对你有所帮助。
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